Это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.

Положение тела задается двугранным углом (углом поворота).

 =  (t) - уравнение движения.

Кинематические характеристики те­ла:

- угловая скорость, с -1 ;

- угловое ускорение, с -2 .

Величины  и  можно представить в виде векторов
, расположенных на оси вращения, направление вектора таково, что с его конца враще­ние тела видно происходящим против часовой стрелки. Направление совпадает с , если >о.

Положение точки тела: M 0 M 1 = S = h.

Скорость точки
; при этом
.

откуда
;
;
.

Ускорение точки тела ,
‑ вращательное ускорение (в кинематике точки – касательное ‑):
- осестремительное ускорение (в кинематике точки - нор­мальное -).

Модули:
;
;

.

Равномерное и равнопеременное вращение

1. Равномерное:  = const,
;
;
- уравнение движения.

2. Равнопеременное:  = const,
;
;
;
;
- уравнение движения.

2). Механический привод состоит из шкива 1, ремня 2 и ступенчатых колес 3 и 4. Найти скорость рейки 5, а также ускорение точкиM в момент времени t 1 = 1с. Если угловая ско­рость шкива равна  1 = 0,2t , с -1 ; R 1 = 15; R 3 = 40; r 3 = 5; R 4 = 20; r 4 = 8 (в сантиметрах).

Скорость рейки

;

;
;
.

Откуда
;
;
, с -1 .

Из (1) и (2) получим , см.

Ускорение точки M .

, с -2 при t 1 = 1 с; a = 34,84 см/с 2 .

3.3 Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела

Это движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной пло­скости.

Все точки тела на любой прямой, перпендикулярной неподвижной пло­скости, движутся одинаково. Поэтому анализ плоского движения тела сво­дится к исследованию движения пло­ской фигуры (сечение S) в ее плоскости (xy).

Это движение можно представить как совокупность поступательного движения вместе с некоторой произвольно выбранной точкой а, называемой полюсом , и вращательного движе­ния вокруг полюса.

Уравнения движения плоской фигуры

x а = x a (t); у а = у а; j = j(t)

Кинематические характеристи­ ки плоской фигуры:

- скорость и ускорение по­люса; w, e - угловая скорость и угловое ускорение (не зависят от выбора полюса).

Уравнения движения любой точки плоской фигуры (B) можно получить, проектируя векторное равенство
на осиx и у

x 1 B , y 1 B - координаты точки в системе координат, свя­занной с фигурой.

Определение скоростей точек

1). Аналитический способ .

Зная уравнения движения x n = x n (t); y n = y n (t), находим
;
;
.

2). Теорема о распределении скоростей.

Дифференцируя равенство
, получим
,

- скорость точки B при вращении пло­ской фигуры вокруг полюса A;
;

Формула распределения скоро­стей точек плоской фигуры
.

Скорость точкиM колеса, катящегося без скольжения

;
.

3). Теорема о проекциях ско­ростей.

Проекции скоростей двух то­чек тела на ось, проходящую че­рез эти точки, равны. Проектируя равенство
на осьx, имеем

Пример

Определить скорость натекания воды v Н на руль корабля, если извест­ны (скорость центра тяжести суд­на),b и b K (углы дрейфа).

Решение: .

4). Мгновенный центр скоростей (МЦС).

Скорости точек при плоском движении тела можно определять по формулам вращательного движения, используя понятие МЦС.

МЦС - точка, связанная с плоской фигурой, скорость которой в данный момент времени равна нулю (v p = 0).

В общем случае МЦС - точка пере­сечения перпендикуляров к направле­ниям скоростей двух точек фигуры.

Принимая точку P за полюс, имеем для произвольной точки

, тогда

Откуда
- угловая скорость фигуры и
,т.е. скорости точек плоской фигуры пропор­циональны их расстояниям до МЦС.

Возможные случаи нахождения МЦС
			Качение без скольжения
		МЦС - в бес­конечности

Случай б соответствует мгновенно поступательному распределению скоростей.

1). Для заданного положения механизма найтиv B , v C ,v D , w 1 , w 2 , w 3 , если в данный момент v A = 20 см/с; BC = CD = 40 см; OC = 25 см; R = 20 см.

Решение МЦС катка 1 - точка P 1:

с -1 ;
см/с.

МЦС звена 2 - точка P 2 пересечения перпендикуляров к на­правлениям скоростей точек B и C:

с -1 ;
см/с;
см/с;
с -1 .

2). Груз Q поднимается с помощью ступенчатого бара­бана 1, угловая скорость которого w 1 = 1 с -1 ; R 1 = 3r 1 = 15 см; AE || BD. Найти скорость v C оси подвижного блока 2.

Находим скорости точек A и B:

v A = v E = w 1* R 1 = 15 см/с; v B = v D = w 1* r 1 = 5 см/с.

MЦС блока 2 - точка P. Тогда
, откуда
;
;
см/с.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, неизменно связанная с этим телом, остается параллельной своему начальному положению.

Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый данный момент имеют равные по модулю и направлению скорости и ускорения.

Доказательство. Проведем через две точки и, поступательно движущегося тела отрезок
и рассмотрим движение этого отрезка в положении
. При этом точкаописывает траекторию
, а точка– траекторию
(рис. 56).

Учитывая, что отрезок
перемещается параллельно самому себе, и длина его не меняется, можно установить, что траектории точекибудут одинаковы. Значит, первая часть теоремы доказана. Будем определять положение точекивекторным способом относительно неподвижного начала координат. При этом эти радиусы – вектора находятся в зависимости
. Так как. ни длина, ни направление отрезка
не меняется при движении тела, то вектор

. Переходим к определению скоростей по зависимости (24):

, получаем
.

Переходим к определению ускорений по зависимости (26):

, получаем
.

Из доказанной теоремы следует, что поступательное движение тела будет вполне определено, если известно движение только одной какой- нибудь точки. Поэтому изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения одной его точки, т.е. к задаче кинематики точки.

Тема 11. Вращательное движение твердого тела

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором две его точки остаются неподвижными за все время движения. При этом прямая, проходящая через эти две неподвижные точки, называется осью вращения .

Каждая точка тела, не лежащая на оси вращения, описывает при таком движении окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, и центр ее лежит на этой оси.

Проводим через ось вращения неподвижную плоскость I и подвижную плоскость II, неизменно связанную с телом и вращающуюся вместе с ним (рис. 57). Положение плоскости II, а соответственно и всего тела, по отношению к плоскости I в пространстве, вполне определятся углом . При вращении тела вокруг осиэтот угол является непрерывной и однозначной функцией времени. Следовательно, зная закон изменения этого угла с течением времени, мы сможем определить положение тела в пространстве:

- закон вращательного движения тела . (43)

При этом будем полагать, что угол отсчитывается от неподвижной плоскости в направлении обратном движению часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси. Так как положение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется одним параметром, то говорят, что такое тело имеет одну степень свободы.

Угловая скорость

Изменение угла поворота тела с течением времени называется угловой скоростью тела и обозначается
(омега):

.(44)

Угловая скорость так же, как и линейная скорость, есть величина векторная, и этот вектор строят на оси вращения тела. Он направляется вдоль оси вращения в ту сторону, чтобы, смотря с его конца на его начало, видеть вращение тела против хода часовой стрелки (рис. 58). Модуль этого вектора определяется зависимостью (44). Точку приложенияна оси можно выбирать произвольно, так как вектор можно переносить вдоль линии его действия. Если обозначить орт-вектор оси вращения через, то получим векторное выражение угловой скорости:

. (45)

Угловое ускорение

Быстрота изменения угловой скорости тела с течением времени называется угловым ускорением тела и обозначается (эпсилон):

. (46)

Угловое ускорение есть величина векторная, и этот вектор строят на оси вращения тела. Он направляется вдоль оси вращения в ту сторону, чтобы, смотря с его конца на его начало, видеть направление вращение эпсилон против хода часовой стрелки (рис. 58). Модуль этого вектора определяется зависимостью (46). Точку приложенияна оси можно выбирать произвольно, так как вектор можно переносить вдоль линии его действия.

Если обозначить орт-вектор оси вращения через , то получим векторное выражение углового ускорения:

. (47)

Если угловые скорость и ускорения одного знака, то тело вращается ускоренно , а если разного – замедленно . Пример замедленного вращения показан на рис. 58.

Рассмотрим частные случаи вращательного движения.

1. Равномерное вращение:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. Равнопеременное вращение:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

Связь линейных и угловых параметров

Рассмотрим движение произвольной точки
вращающегося тела. При этом траектория движения точки будет окружность, радиуса
, расположенная в плоскости перпендикулярной оси вращения (рис. 59,а ).

Допустим, что в момент времени точка находится в положении
. Предположим, что тело вращается в положительном направлении, т.е. в направлении возрастания угла . В момент времени
точка займет положение
. Обозначим дугу
. Следовательно, за промежуток времени
точка прошла путь
. Ее средняя скорость , а при
,
. Но, из рис. 59,б , видно, что
. Тогда. Окончательно получаем

. (50)

Здесь - линейная скорость точки
. Как было получено ранее, эта скорость направлена по касательной к траектории в данной точке, т.е. по касательной к окружности.

Таким образом, модуль линейной (окружной) скорости точки вращающегося тела равен произведению абсолютного значения угловой скорости на расстояние от этой точки до оси вращения.

Теперь свяжем линейные составляющие ускорения точки с угловыми параметрами.

,
. (51)

Модуль касательного ускорения точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению углового ускорения тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

,
. (52)

Модуль нормального ускорения точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению квадрата угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Тогда выражение для полного ускорения точки принимает вид

. (53)

Направления векторов ,,показаны на рисунке 59,в .

Плоским движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости. Примеры такого движения:

Движение любого тела, основание которого скользит по данной неподвижной плоскости;

Качение колеса по прямолинейному участку пути (рельсу).

Получим уравнения плоского движения. Для этого рассмотрим плоскую фигуру, движущуюся в плоскости листа (рис. 60). Отнесем это движение к неподвижной системе координат
, а с самой фигурой свяжем подвижную систему координат
, которая перемещается вместе с ней.

Очевидно, что положение движущейся фигуры на неподвижной плоскости определяется положением подвижных осей
относительно неподвижных осей
. Такое положение определяется положением подвижного начала координат, т.е. координатами,и углом поворота, подвижной системы координат, относительно неподвижной, который будем отсчитывать от осив направлении обратном движению часовой стрелки.

Следовательно, движение плоской фигуры в ее плоскости будет вполне определено, если для каждого момента времени будут известны значения ,,, т.е. уравнения вида:

,
,
. (54)

Уравнения (54) являются уравнениями плоского движения твердого тела, так как если эти функции известны, то для каждого момента времени можно из этих уравнений найти соответственно ,,, т.е. определить положение движущейся фигуры в данный момент времени.

Рассмотрим частные случаи:

1.

, тогда движение тела будет поступательным, так как подвижные оси перемещаются, оставаясь параллельными своему начальному положению.

2.

,

. При таком движении меняется только угол поворота, т.е. тело будет вращаться относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку.

Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

Рассмотрим два последовательных положения и
, которые занимает тело в моменты времении
(рис. 61). Тело из положенияв положение
можно перенести следующим образом. Перенесем сначала телопоступательно . При этом отрезок
переместится параллельно самому себе в положение
, а затемповернем тело вокруг точки (полюса) на угол
до совпадения точеки.

Следовательно, любое плоское движение можно представить как сумму поступательного движения вместе с выбранным полюсом и вращательного движения , относительно данного полюса.

Рассмотрим методы, с помощью которых можно определить скорости точек тела, совершающего плоское движение.

1. Метод полюса. Этот метод основывается на полученном разложении плоского движения на поступательное и вращательное. Скорость любой точки плоской фигуры можно представить в виде двух составляющих: поступательной, со скоростью равной скорости произвольно выбранной точки – полюса , и вращательной вокруг этого полюса.

Рассмотрим плоское тело (рис. 62). Уравнения движения имеют вид:
,
,
.

Определяем из этих уравнений скорость точки (как при координатном способе задания)

,
,
.

Таким образом, скорость точки - величина известная. Принимаем эту точку за полюс и определим скорость произвольной точки
тела.

Скорость
будет складываться из поступательной составляющей, при движении вместе с точкой, и вращательной
, при вращении точки
относительно точки. Скорость точкиперенесем в точку
параллельно самой себе, так как при поступательном движении скорости всех точек равны как по величине, так и по направлению. Скорость
определится по зависимости (50)
, и направлен этот вектор перпендикулярно радиусу
по направлению вращения
. Вектор
будет направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторахи
, а его модуль определиться зависимостью:

, .(55)

2. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.

Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

Рассмотрим две точки тела и(рис. 63). Принимая точкуза полюс, определим направлениепо зависимости (55):
. Проектируем это векторное равенство на линию
и, учитывая, что
перпендикулярно
, получаем

3. Мгновенный центр скоростей.

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Покажем, что если тело движется не поступательно, то такая точка в каждый момент времени существует и притом единственная. Пусть в момент времени точкиитела, лежащие в сечении, имеют скоростии, не параллельные друг другу (рис. 64). Тогда точка
, лежащая на пересечении перпендикуляров к векторами, и будет МЦС, так как
.

Действительно, если допустить, что
, то по теореме (56), вектор
должен быть одновременно перпендикулярен
и
, что невозможно. Из этой же теоремы видно, что никакая другая точка сеченияв этот момент времени не может иметь скорость равную нулю.

Применяя метод полюса
- полюс, определим скорость точки(55):, т.к.
,
. (57)

Аналогичный результат можно получить для любой другой точки тела. Следовательно, скорость любой точки тела равна ее вращательной скорости относительно МЦС:

,
,
, т.е. скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до МЦС.

Из рассмотренных трех способов определения скоростей точек плоской фигуры видно, что предпочтительным является МЦС, так как здесь скорость сразу определяется как по модулю, так и по направлению одной составляющей. Однако этот способ можно применять, если нам известен или мы можем определить для тела положение МЦС.

Определение положения МЦС

1. Если нам известны для данного положения тела направления скоростей двух точек тела, то МЦС будет точкой пересечения перпендикуляров к этим векторам скоростей.

2. Скорости двух точек тела антипараллельны (рис. 65,а ). В этом случае перпендикуляр к скоростям будет общим, т.е. МЦС находится где-то на этом перпендикуляре. Чтобы определить положение МЦС, надо соединить концы векторов скоростей. Точка пересечения этой линии с перпендикуляром будет искомым МЦС. При таком случае МЦС находится между этими двумя точками.

3. Скорости двух точек тела параллельны, но не равны по величине (рис.65,б ). Процедура получения МЦС аналогична описанной в пункте 2.

г) Скорости двух точек равны как по величине, так и по направлению (рис.65,в ). Получаем случай мгновенно поступательного движения, при котором скорости всех точек тела равны. Следовательно, угловая скорость тела в данном положении равна нулю:

4. Определим МЦС для колеса, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности (рис. 65,г ). Так как движение происходит без скольжения, то в точке контакта колеса с поверхностью скорость будет одинакова и равна нулю, так как поверхность неподвижна. Следовательно, точка контакта колеса с неподвижной поверхностью будет являться МЦС.

Определение ускорений точек плоской фигуры

При определении ускорений точек плоской фигуры прослеживается аналогия с методами определения скоростей.

1. Метод полюса. Так же, как и при определении скоростей, принимаем за полюс произвольную точку тела, ускорение которой нам известно, или мы можем его определить. Тогда ускорение любой точки плоской фигуры равно сумме ускорений полюса и ускорения во вращательном движении вокруг этого полюса:

При этом составляющая
определяет ускорение точкипри ее вращении вокруг полюса. При вращении траектория движения точки будет криволинейной, а значит
(рис. 66).

Тогда зависимость (58) принимает вид
. (59)

Учитывая зависимости (51) и (52), получаем
,
.

2. Мгновенный центр ускорений.

Мгновенным центром ускорений (МЦУ) называется точка, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.

Покажем, что в каждый данный момент времени такая точка существует. Принимаем за полюс точку , ускорение которой
нам известно. Находим угол, лежащий в пределах
, и удовлетворяющий условию
. Если
, то
и наоборот, т.е. уголоткладывается по направлению. Отложим от точкипод угломк вектору
отрезок
(рис. 67). Полученная такими построениями точка
будет МЦУ.

Действительно, ускорение точки
равно сумме ускорений
полюсаи ускорения
во вращательном движении вокруг полюса:
.

,
. Тогда
. С другой стороны, ускорение
образует с направлением отрезка
угол
, который удовлетворяет условию
. Знак минус поставлен перед тангенсом угла, так как вращение
относительно полюсапротив хода часовой стрелки, а угол
откладывается по ходу часовой стрелке. Тогда
.

Следовательно,
и тогда
.

Частные случаи определения МЦУ

1.
. Тогда
, и, следовательно, МЦУ не существует. В этом случае тело движется поступательно, т.е. скорости и ускорения всех точек тела равны.

2.
. Тогда
,
. Значит, МЦУ лежит на пересечении линий действия ускорений точек тела (рис.68,а ).

3.
. Тогда,
,
. Значит, МЦУ лежит на пересечении перпендикуляров к ускорениям точек тела (рис.68,б ).

4.
. Тогда
,

. Значит, МЦУ лежит на пересечении лучей, проведенных к ускорениям точек тела под углом(рис.68,в ).

Из рассмотренных частных случаев можно сделать вывод: если принять точку
за полюс, то ускорение любой точки плоской фигуры определится ускорением во вращательном движении вокруг МЦУ:

. (60)

Сложным движением точки называется такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или более движениях. При таком движении положение точки определяют относительно подвижной и относительно неподвижной систем отсчета.

Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным движением точки . Параметры относительного движения условимся обозначать
.

Движение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка относительно неподвижной системы отсчета, называется переносным движением точки . Параметры переносного движения условимся обозначать
.

Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным (сложным) движением точки . Параметры абсолютного движения условимся обозначать
.

В качестве примера сложного движения, можно рассмотреть движение человека в движущемся транспорте (трамвай). В этом случае движение человека отнесено к подвижной системе координат – трамваю и к неподвижной системе координат – земле (дороге). Тогда исходя из данных выше определений, движение человека относительно трамвая – относительно, движение вместе с трамваем относительно земли – переносное, а движение человека относительно земли – абсолютное.

Будем определять положение точки
радиусами – векторами относительно подвижной
и неподвижной
систем координат (рис. 69). Введем обозначения:- радиус-вектор, определяющий положение точки
относительно подвижной системы координат
,
;- радиус-вектор, определяющий положение начала подвижной системы координат (точки) (точки);- радиус – вектор, определяющий положение точки
относительно неподвижной системы координат
;
,.

Получим условия (ограничения), соответствующие относительному, переносному и абсолютному движениям.

1. При рассмотрении относительного движения будем считать, что точка
перемещается относительно подвижной системы координат
, а сама подвижная система координат
относительно неподвижной системы координат
не перемещается.

Тогда координаты точки
будут меняться в относительном движении, а орт-вектора подвижной системы координат изменяться по направлению не будут:

,

,

.

2. При рассмотрении переносного движения, будем считать, что координаты точки
по отношению к подвижной системе координат зафиксированы, и точка перемещается вместе с подвижной системой координат
относительно неподвижной
:

,

,

,.

3. При абсолютном движении точка движется и относительно
и вместе с системой координат
относительно неподвижной
:

Тогда выражения для скоростей, с учетом (27), имеют вид

,
,

Сравнивая эти зависимости, получаем выражение для абсолютной скорости:
. (61)

Получили теорему о сложении скоростей точки в сложном движении: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной составляющих скорости.

Используя зависимость (31), получаем выражения для ускорений:

,

Сравнивая эти зависимости, получаем выражение для абсолютного ускорения:
.

Получили, что абсолютное ускорение точки не равно геометрической сумме относительной и переносной составляющих ускорений. Определим составляющую абсолютного ускорения, стоящую в скобках, для частных случаев.

1. Переносное движение точки поступательное
. В этом случае оси подвижной системы координат
перемещаются все время параллельно самим себе, тогда.

,

,

,
,
,
, тогда
. Окончательно получаем

. (62)

Если переносное движение точки поступательное, то абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительной и переносной составляющей ускорения.

2. Переносное движение точки непоступательное. Значит, в этом случае подвижная система координат
вращается вокруг мгновенной оси вращения с угловой скоростью(рис. 70). Обозначим точку на конце векторачерез. Тогда, используя векторный способ задания (15), получаем вектор скорости этой точки
.

С другой стороны,
. Приравнивая правые части этих векторных равенств, получаем:
. Поступая аналогично, для остальных орт векторов, получаем:
,
.

В общем случае абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительной и переносной составляющей ускорения плюс удвоенное векторное произведение вектора угловой скорости переносного движения на вектор линейной скорости относительного движения.

Удвоенное векторное произведение вектора угловой скорости переносного движения на вектор линейной скорости относительного движения называется ускорением Кориолиса и обозначается

. (64)

Ускорение Кориолиса характеризует изменение относительной скорости в переносном движении и изменение переносной скорости в относительном движении.

Направляется
по правилу векторного произведения. Вектор ускорения Кориолиса всегда направлен перпендикулярно плоскости, которую образуют вектораи, таким образом, чтобы, смотря с конца вектора
, видеть поворотк, через наименьший угол, против хода часовой стрелки.

Модуль ускорения Кориолиса равен.

Вращательным называют такое движение, при котором две точки, связанные с телом, следовательно, и прямая, проходящая через эти точки, остаются неподвижными во время движения (рис. 2.16). Неподвижную прямую А В называют осью вращения.

Рис. 2.1В. К определению вращательного движения тела

Положение тела при вращательном движении определяет угол поворота ф, рад (см. рис. 2.16). При движении угол поворота меняется со временем, т.е. закон вращательного движения тела определяется как закон изменения во времени величины двугранного угла Ф = ф(/) между неподвижной полуплоскостью К () , проходящей через ось вращения, и подвижной п 1 полуплоскостью, связанной с телом и также проходящей через ось вращения.

Траектории всех точек тела при вращательном движении представляют собой концентрические окружности, расположенные в параллельных плоскостях с центрами на оси вращения.

Кинематические характеристики вращательного движения тела. Аналогично тому, как были введены кинематические характеристики для точки вводят кинематическое понятие, характеризующее быстроту изменения функции ф(с), которая определяет положение тела при вращательном движении, т.е. угловую скорость со = ф = с/ф/с//, размерность угловой скорости [со] = рад/с.

В технических расчетах часто используют выражение угловой скорости другой размерностью - через число оборотов в минуту: [я] = об/мин, а связь между п и со можно представить в виде: со = 27ш/60 = 7ш/30.

В общем случае угловая скорость изменяется во времени. Мерой быстроты изменения угловой скорости является угловое ускорение е = с/со/с//= со = ф, размерность углового ускорения [е] = рад/с 2 .

Введенные угловые кинематические характеристики полностью определяются заданием одной функции - угла поворота от времени.

Кинематические характеристики точек тела при вращательном движении. Рассмотрим точку М тела, находящуюся на расстоянии р от оси вращения. Эта точка движется по окружности радиуса р (рис. 2.17).

Рис. 2.17.

точек тела при его вращении

Длина дуги M Q M окружности радиуса р определяется как s = ptp, где ф - угол поворота, рад. В случае, если закон движения тела задан как ф = ф(г), то закон движения точки М по траектории определяет формула S = рф(7).

Пользуясь выражениями кинематических характеристик при естественном способе задания движения точки, получим кинематические характеристики для точек, вращающегося тела: скорость по формуле (2.6)

V = 5 = рф = рсо; (2.22)

касательное ускорение согласно выражению (2.12)

я т = К = сор = ер; (2.23)

нормальное ускорение по формуле (2.13)

а„ = И 2 /р = со 2 р 2 /р = огр; (2.24)

полное ускорение с использованием выражения (2.15)

а = -]а + а] = рх/е 2 + со 4 . (2.25)

За характеристику направления полного ускорения принимают р - угол отклонения вектора полного ускорения от радиуса окружности, описываемой точкой (рис. 2.18).

Из рис. 2.18 получаем

tgjLi = aja n =ре/рсо 2 =г/(о 2 . (2.26)

Рис. 2.18.

Отметим, что все кинематические характеристики точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям до оси вращения. Ве-

личины их определяют через производные одной и той же функции - угла поворота.

Векторные выражения для угловых и линейных кинематических характеристик. Для аналитического описания угловых кинематических характеристик вращающегося тела вместе с осью вращения вводят понятие вектора угла поворота (рис. 2.19): ф = ф(/)А:, где к - еди

ничный вектор оси вращения

1; к =соп51 .

Направлен вектор ф по этой оси так, чтобы с «конца» его видеть

поворот, происходящим против хода часовой стрелки.

Рис. 2.19.

характеристик в векторной форме

Если известен вектор ф(/), то все остальные угловые характеристики вращательного движения можно представить в векторной форме:

• вектор угловой скорости со = ф = ф к. Направление вектора угловой скорости определяет знак производной угла поворота;
• вектор углового ускорения є = со = ф к. Направление этого вектора определяет знак производной угловой скорости.

Введенные векторы со и є позволяют получить векторные выражения для кинематических характеристик точек (см. рис. 2.19).

Заметим, что модуль вектора скорости точки совпадает с модулем векторного произведения вектора угловой скорости и радиуса-вектора: |сох г = согвіпа = сор. Учитывая направления векторов со и г и правило направления векторного произведения, можно записать выражение для вектора скорости:

V = со хг.

Аналогично легко показать, что

• ? X Ґ
• - егБіпа = єр = а т и

Сосор = со р = я.

(роме этого векторы этих кинематических характеристик совпадают по направлению с соответствующими векторными произведениями.

Следовательно, векторы касательного и нормального ускорений можно представить в виде векторных произведений:

• (2.28)
• (2.29)

а х = г х г

а = со х V.

Абсолютно твердое тело – тело взаимное расположение частей которого во время движения не меняется.

Поступательное движение твёрдого тела - это такое его движение, при котором любая прямая, жёстко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному направлению.

При поступательном движении твёрдого тела все его точки движутся одинаково за малое время dt, радиус-вектор этих точек изменяется на одну и ту же величину. Соответственно в каждый момент времени скорости всех его точек одинаковы и равны. Поэтому кинематика рассматриваемого поступательного движения твёрдого тела сводится к изучению движения любого из его точек. Обычно рассматривают движение центра инерции твёрдого тела, свободно двигающегося в пространстве.

Вращательное движение твёрдого тела - это такое движение, при котором все его точки движущиеся по окружностям, центры которых находятся вне пределов тела. Прямая называется осью вращения тела.

Угловая скорость – векторная величина, характеризующая быстроту вращения тела; отношение угла поворота ко времени, за которое этот поворот произошёл; вектор, определяемый первой производной угла поворота тела по времени. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта. ω=φ/t=2π/T=2πn, где T – период вращения, n – частота вращения. ω=lim Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt.

Угловое ускорение – вектор, определяемый первой производной угловой скорости по времени. При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. Вторая производная угла поворота по времени. При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору φ, при замедленном – противонаправлен ему. ε=dω/dt.

Если dω/dt> 0, то εω

Если dω/dt< 0, то ε ↓ω

4. Принцип инерции (первый закон Ньютона). Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности.

Первый закон Ньютона (закон инерции) : всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит её изменить это состояние

Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью . Поэтому первый закон Ньютона называют законом инерции.

Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчёта.

Инерциальная система отсчёта – это система отсчёта, относительно которой свободная материальная точка неподверженная воздействию других тел, движется равномерно прямолинейно; это такая система, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы.

Принцип относительности - фундаментальный физический закон, согласно которому любой процесс протекает одинаково в изолированной материальной системе, находящейся в состоянии покоя, и в такой же системе в состоянии равномерного прямолинейного движения. Состояния движения или покоя определяются по отношению к произвольно выбранной инерциальной системе отсчета. Принцип относительности лежит в основе специальной теории относительности Эйнштейна.

5. Преобразования Галилея.

Принцип относительности (Галилея) : никакие опыты (механические, электрические, оптические), проведённые внутри данной инерциальной системы отсчёта, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчёта к другой.

Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему К (с координатами x,y,z), которую условно будем считать неподвижной и систему К’ (с координатами x’,y’,z’), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью U (U = const). Найдем связь между координатами произвольной точки А в обеих системах. r = r’+r0=r’+Ut. (1.)

Уравнение (1.) можно записать в проекциях на оси координат:

y=y’+Uyt; (2.)

z=z’+Uzt; Уравнение (1.) и (2.) носят название преобразований координат Галилея.

Связь между потенциальной энергией и силой

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Для установления этой связи вычислим элементарную работу , совершаемую силами поля при малом перемещении тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой . Эта работа равна

где - проекция силы на направление .

Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии , она равна убыли потенциальной энергии на отрезке оси :

Из двух последних выражений получаем

Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

в математике вектор ,

где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком

Вращением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течение всего времени движения. При этом также остаются неподвижными все точки тела, расположенные на прямой, проходящей через его неподвижные точки. Эта прямая называется осью вращения тела .

Пусть точки A и B неподвижны. Вдоль оси вращения направим ось . Через ось вращения проведём неподвижную плоскость и подвижную , скреплённую с вращающимся телом (при ).

Положение плоскости и самого тела определяется двугранным углом между плоскостями и . Обозначим его . Угол называется углом поворота тела .

Положение тела относительно выбранной системы отсчета однозначно определяется в любой момент времени, если задано уравнение , где - любая дважды дифференцируемая функция времени. Это уравнение называется уравнением вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси .

У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, одна степень свободы, так как его положение определяется заданием только одного параметра - угла .

Угол считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным - в противоположном направлении. Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси введём понятия угловой скорости и углового ускорения.

Алгебраической угловой скоростью тела в какой-либо момент времени называется первая производная по времени от угла поворота в этот момент, то есть .

Угловая скорость является положительной величиной при вращении тела против часовой стрелки, так как угол поворота возрастает с течением времени, и отрицательной - при вращении тела по часовой стрелке, потому что угол поворота при этом убывает.

Размерность угловой скорости по определению:

В технике угловая скорость - это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За одну минуту тело повернётся на угол , где n - число оборотов в минуту. Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим

Алгебраическим угловым ускорением тела называется первая производная по времени от угловой скорости, то есть вторая производная от угла поворота т.е.

Размерность углового ускорения по определению:

Введем понятия векторов угловой скорости и углового ускорения тела.

И , где - единичный вектор оси вращения. Векторы и можно изображать в любых точках оси вращения, они являются скользящими векторами.

Алгебраическая угловая скорость это проекция вектора угловой скорости на ось вращения. Алгебраическое угловое ускорение это проекция вектора углового ускорения скорости на ось вращения.

Если при , то алгебраическая угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону. Направление векторов и совпадают, оба они направлены в положительную сторону оси вращения .

При и тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Направление векторов и совпадают, оба они направлены в отрицательную сторону оси вращения .