Главные интегралы, которые должен знать каждый студент
Перечисленные интегралы - это базис, основа основ. Данные формулы, безусловно, следует запомнить. При вычислении более сложных интегралов вам придется постоянно ими пользоваться.
Обратите особое внимание на формулы (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забывайте при интегрировании добавлять к ответу произвольную постоянную С!
Интеграл от константы
∫ A d x = A x + C (1)Интегрирование степенной функции
В действительности, можно было ограничиться только формулами (5) и (7), но остальные интегралы из этой группы встречаются настолько часто, что стоит уделить им немного внимания.
∫
x d x =
x
2
2
+ C
(2)
∫
x
2
d x =
x
3
3
+ C
(3)
∫
1
x
d x = 2
x
+ C
(4)
∫
1
x
d x = ln | x | + C
(5)
∫
1
x
2
d x = −
1
x
+ C
(6)
∫
x
n
d x =
x
n + 1
n + 1
+ C (n ≠ − 1)
(7)
Интегралы от показательной функции и от гиперболических функций
Разумеется, формулу (8) (пожалуй, самую удобную для запоминания) можно рассматривать как частный случай формулы (9). Формулы (10) и (11) для интегралов от гиперболического синуса и гиперболического косинуса легко выводятся из формулы (8), но лучше просто запомнить эти соотношения.
∫
e
x
d x =
e
x
+ C
(8)
∫
a
x
d x =
a
x
ln a
+ C (a > 0, a ≠ 1)
(9)
∫
s h x
d x = c h x + C
(10)
∫
c h x
d x = s h x + C
(11)
Базовые интегралы от тригонометрических функций
Ошибка, которую часто делают студенты: путают знаки в формулах (12) и (13). Запомнив, что производная синуса равна косинусу, многие почему-то считают, что интеграл от функции sinx равен сosx. Это неверно! Интеграл от синуса равен "минус косинусу", а вот интеграл от cosx равен "просто синусу":
∫
sin x d x = − cos x + C
(12)
∫
cos x d x = sin x + C
(13)
∫
1
cos
2
x
d x = t g x + C
(14)
∫
1
sin
2
x
d x = − c t g x + C
(15)
Интегралы, сводящиеся к обратным тригонометрическим функциям
Формула (16), приводящая к арктангенсу, естественно, является частным случаем формулы (17) при a=1. Аналогично, (18) - частный случай (19).
∫
1
1 +
x
2
d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C
(16)
∫
1
x
2
+
a
2
=
1
a
a r c t g
x
a
+ C (a ≠ 0)
(17)
∫
1
1 −
x
2
d x = arcsin x + C = − arccos x + C
(18)
∫
1
a
2
−
x
2
d x = arcsin
x
a
+ C = − arccos
x
a
+ C (a > 0)
(19)
Более сложные интегралы
Данные формулы тоже желательно запомнить. Они также используются достаточно часто, а их вывод довольно утомителен.
∫
1
x
2
+
a
2
d x = ln |
x +
x
2
+
a
2
| + C
(20)
∫
1
x
2
−
a
2
d x = ln |
x +
x
2
−
a
2
| + C
(21)
∫
a
2
−
x
2
d x =
x
2
a
2
−
x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+ C (a > 0)
(22)
∫
x
2
+
a
2
d x =
x
2
x
2
+
a
2
+
a
2
2
ln |
x +
x
2
+
a
2
| + C (a > 0)
(23)
∫
x
2
−
a
2
d x =
x
2
x
2
−
a
2
−
a
2
2
ln |
x +
x
2
−
a
2
| + C (a > 0)
(24)
Общие правила интегрирования
1) Интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Интеграл от разности двух функций равен разности соответствующих интегралов: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Константу можно выносить за знак интеграла: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Легко заметить, что свойство (26) - это просто комбинация свойств (25) и (27).
4) Интеграл от сложной функции, если внутренняя функция является линейной: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Здесь F(x) - первообразная для функции f(x). Обратите внимание: эта формула подходит только для случая, когда внутренняя функция имеет вид Ax + B.
Важно: не существует универсальной формулы для интеграла от произведения двух функций, а также для интеграла от дроби:
∫
f (x) g (x)
d x = ?
∫
f (x)
g (x)
d x = ?
(30)
Это не означает, конечно, что дробь или произведение нельзя проинтегрировать. Просто каждый раз, увидев интеграл типа (30), вам придется изобретать способ "борьбы" с ним. В каких-то случаях вам поможет интегрирование по частям, где-то придется сделать замену переменной, а иногда помощь могут оказать даже "школьные" формулы алгебры или тригонометрии.
Простой пример на вычисление неопределенного интеграла
Пример 1. Найти интеграл: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xВоспользуемся формулами (25) и (26) (интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности соответствующих интегралов. Получаем: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Вспомним, что константу можно выносить за знак интеграла (формула (27)). Выражение преобразуется к виду
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
А теперь просто воспользуемся таблицей основных интегралов. Нам потребуется применить формулы (3), (12), (8) и (1). Проинтегрируем степенную функцию, синус, экспоненту и константу 1. Не забудем добавить в конце произвольную постоянную С:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
После элементарных преобразований получаем окончательный ответ:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Проверьте себя дифференцированием: возьмите производную от полученной функции и убедитесь, что она равна исходному подинтегральному выражению.
Сводная таблица интегралов
∫ A d x = A x + C |
∫ x d x = x 2 2 + C |
∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
∫ 1 x d x = 2 x + C |
∫ 1 x d x = ln | x | + C |
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
∫ e x d x = e x + C |
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
∫ s h x d x = c h x + C |
∫ c h x d x = s h x + C |
∫ sin x d x = − cos x + C |
∫ cos x d x = sin x + C |
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C |
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C |
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Скачайте таблицу интегралов (часть II) по этой ссылке
Если Вы учитесь в ВУЗе, если у Вас возникли сложности с высшей математикой (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, статистика), если Вам нужны услуги квалифицированного преподавателя, зайдите на страничку репетитора по высшей математике . Будем решать Ваши проблемы вместе!
Возможно, вас заинтересуют также
Определение 1
Первообразная $F(x)$ для функции $y=f(x)$ на отрезке $$ - это функция , которая является дифференцируемой в каждой точке этого отрезка и для ее производной выполняется следующее равенство:
Определение 2
Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.
Из таблицы производных и определения 2 получаем таблицу основных интегралов.
Пример 1
Проверить справедливость формулы 7 из таблицы интегралов:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos x} =tgx\]
Пример 2
Проверить справедливость формулы 8 из таблицы интегралов:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x=ctgx\]
Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 3
Проверить справедливость формулы 11" из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{a^{2} +x^{2} } =\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C$.
\[\left(\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C\right)"=\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{x}{a} \right)^{2} } \cdot \frac{1}{a} =\frac{1}{a^{2} } \cdot \frac{a^{2} }{a^{2} +x^{2} } \]
Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 4
Проверить справедливость формулы 12 из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{a^{2} -x^{2} } =\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C$.
$\left(\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C\right)"=\frac{1}{2a} \cdot \frac{1}{\frac{a+x}{a-x} } \cdot \left(\frac{a+x}{a-x} \right)"=\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{a-x+a+x}{(a-x)^{2} } =\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{2a}{(a-x)^{2} } =\frac{1}{a^{2} -x^{2} } $Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 5
Проверить справедливость формулы 13" из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } =\arcsin \frac{x}{a} +C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\arcsin \frac{x}{a} +C$.
\[\left(\arcsin \frac{x}{a} +C\right)"=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a} \right)^{2} } } \cdot \frac{1}{a} =\frac{a}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } \cdot \frac{1}{a} =\frac{1}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } \]
Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 6
Проверить справедливость формулы 14 из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } =\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C\right)"=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \left(x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } \right)"=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \left(1+\frac{1}{2\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot 2x\right)=\] \[=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \frac{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } +x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \]
Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 7
Найти интеграл:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]
Воспользуемся теоремой об интеграле суммы:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Воспользуемся теоремой о вынесении постоянного множителя за знак интеграла:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
По таблице интегралов:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac{x^{2} }{2} +C.\]
При вычислении первого интеграла воспользуемся правилом 3:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C_{1} .\]
Следовательно,
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C_{1} +\frac{5x^{2} }{2} +C_{2} =\frac{1}{3} \sin (3x+2)+\frac{5x^{2} }{2} +C,\, \, C=C_{1} +C_{2} \]
Определение 1
Первообразная $F(x)$ для функции $y=f(x)$ на отрезке $$ - это функция , которая является дифференцируемой в каждой точке этого отрезка и для ее производной выполняется следующее равенство:
Определение 2
Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.
Из таблицы производных и определения 2 получаем таблицу основных интегралов.
Пример 1
Проверить справедливость формулы 7 из таблицы интегралов:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos x} =tgx\]
Пример 2
Проверить справедливость формулы 8 из таблицы интегралов:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x=ctgx\]
Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 3
Проверить справедливость формулы 11" из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{a^{2} +x^{2} } =\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C$.
\[\left(\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C\right)"=\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{x}{a} \right)^{2} } \cdot \frac{1}{a} =\frac{1}{a^{2} } \cdot \frac{a^{2} }{a^{2} +x^{2} } \]
Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 4
Проверить справедливость формулы 12 из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{a^{2} -x^{2} } =\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C$.
$\left(\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C\right)"=\frac{1}{2a} \cdot \frac{1}{\frac{a+x}{a-x} } \cdot \left(\frac{a+x}{a-x} \right)"=\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{a-x+a+x}{(a-x)^{2} } =\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{2a}{(a-x)^{2} } =\frac{1}{a^{2} -x^{2} } $Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 5
Проверить справедливость формулы 13" из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } =\arcsin \frac{x}{a} +C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\arcsin \frac{x}{a} +C$.
\[\left(\arcsin \frac{x}{a} +C\right)"=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a} \right)^{2} } } \cdot \frac{1}{a} =\frac{a}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } \cdot \frac{1}{a} =\frac{1}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } \]
Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 6
Проверить справедливость формулы 14 из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } =\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C\right)"=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \left(x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } \right)"=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \left(1+\frac{1}{2\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot 2x\right)=\] \[=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \frac{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } +x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \]
Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 7
Найти интеграл:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]
Воспользуемся теоремой об интеграле суммы:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Воспользуемся теоремой о вынесении постоянного множителя за знак интеграла:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
По таблице интегралов:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac{x^{2} }{2} +C.\]
При вычислении первого интеграла воспользуемся правилом 3:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C_{1} .\]
Следовательно,
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C_{1} +\frac{5x^{2} }{2} +C_{2} =\frac{1}{3} \sin (3x+2)+\frac{5x^{2} }{2} +C,\, \, C=C_{1} +C_{2} \]
Таблица первообразных ("интегралов"). Таблица интегралов. Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.
Таблица первообразных ("интегралов"). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). |
|
Интеграл степенной функции. |
Интеграл степенной функции. |
Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала. |
|
Интеграл экспоненты, где a-постоянное число. |
|
Интеграл сложной экспоненциальной функции. |
Интеграл экспоненциальной функции. |
Интеграл, равняющийся натуральному логорифму. |
Интеграл: "Длинный логарифм". |
Интеграл: "Длинный логарифм". |
|
Интеграл: "Высокий логарифм". |
Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала (константу под знаком можно как прибавлять, так и отнимать), в итоге схож с интегралом, равным натуральному логорифму. |
Интеграл: "Высокий логарифм". |
|
Интеграл косинуса. |
Интеграл синуса. |
Интеграл, равный тангенсу. |
Интеграл, равный котангенсу. |
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу |
|
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу. |
Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу. |
Интеграл равный косекансу. |
Интеграл, равный секансу. |
Интеграл, равный арксекансу. |
Интеграл, равный арккосекансу. |
Интеграл, равный арксекансу. |
Интеграл, равный арксекансу. |
Интеграл, равный гиперболическому синусу. |
Интеграл, равный гиперболическому косинусу. |
Интеграл, равный гиперболическому синусу, где sinhx - гиперболический синус в ангийской версии. |
Интеграл, равный гиперболическому косинусу, где sinhx - гиперболический синус в ангийской версии. |
Интеграл, равный гиперболическому тангенсу. |
Интеграл, равный гиперболическому котангенсу. |
Интеграл, равный гиперболическому секансу. |
Интеграл, равный гиперболическому косекансу. |
Формулы интегрирования по частям. Правила интегрирования.
Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.Правила интегрирования. |
|
Интегрирование произведения (функции) на постоянную: |
|
Интегрирование суммы функций: |
|
неопределенные интегралы: |
|
Формула интегрирования по частям определенные интегралы: |
|
Формула Ньютона-Лейбница определенные интегралы: |
Где F(a),F(b)-значения первообразных в точках b и a соответственно. |
Таблица производных. Табличные производные. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.
Если x - независимая переменная, то:
Таблица производных. Табличные производные."таблица производный"-да, к сожалению, именно так их и ищут в интернете |
|
Производная степенной функции |
|
Производная экспоненты |
|
Производная сложной экспоненциальной функции |
Производная экспоненциальной функции |
Производная логарифмической функции |
Производная натурального логарифма |
Производная натурального логарифма функции |
|
Производная синуса |
Производная косинуса |
Производная косеканса |
Производная секанса |
Производная арксинуса |
Производная арккосинуса |
Производная арксинуса |
Производная арккосинуса |
Производная тангенса |
Производная котангенса |
Производная арктангенса |
Производная арккотангенса |
Производная арктангенса |
Производная арккотангенса |
Производная арксеканса |
Производная арккосеканса |
Производная арксеканса |
Производная арккосеканса |
Производная гиперболического синуса Производная гиперболического синуса в английской версии |
Производная гиперболического косинуса Производная гиперболического косинуса в английской версии |
Производная гиперболического тангенса |
Производная гиперболического котангенса |
Производная гиперболического секанса |
Производная гиперболического косеканса |
Правила дифференцирования. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции. |
|
Производная произведения (функции) на постоянную: |
|
Производная суммы (функций): |
|
Производная произведения (функций): |
|
Производная частного (функций): |
|
Производная сложной функции: |
Свойства логарифмов. Основные формулы логарифмов. Десятичные (lg) и натуральные логарифмы (ln).
Основное логарифмическое тождество |
|
Покажем как можно любую функцию вида a b сделать экспоненциальной. Поскольку функция вида е х называется экспоненциальной, то |
|
Любая функция вида a b может быть представлена в виде степени десяти |
Натуральный логарифм ln (логарифм по основанию е = 2,718281828459045…) ln(e)=1; ln(1)=0
Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.
Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:
При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.
Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:
1)
,
где f(x) - функция, имеющая при х=а производные
всех порядков. R n
- остаточный член в ряде Тейлора
определяется выражением
2)
k-тый коэффициент (при х k) ряда определяется формулой
3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)
при a=0
члены ряда определяются по формуле
Условия применения рядов Тейлора.
1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).
2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.
Свойства рядов Тейлора.
Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.
Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации (приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от linearis - линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.
Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена (=Макларена,Тейлора в окрестностях точки 0) и Тейлора в окрестностях точки 1. Первые члены разложений основных функций в ряды Тейлора и Макларена.
Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена(=Макларена, Тейлора в окрестностях точки 0)
Примеры некоторых распространенных разложений в ряды Тейлора в окрестностях точки 1
Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)
Таблица первообразных
Найти первообразную по известному дифференциалу функции мы можем в том случае, если используем свойства неопределенного интеграла. Из таблицы основных элементарных функций, используя равенства ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C и ∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x можно составить таблицу первообразных.
Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.
Постоянная y = C C " = 0 Степенная функция y = x p . (x p) " = p · x p - 1 |
Постоянная y = C d (C) = 0 · d x Степенная фунция y = x p . d (x p) = p · x p - 1 · d x |
(a x) " = a x · ln a |
Показательная функция y = a x . d (a x) = a x · ln α · d x В частности при a = e имеем y = e x d (e x) = e x · d x |
log a x " = 1 x · ln a |
Логарифмические функия y = log a x . d (log a x) = d x x · ln a В частности при a = e имеем y = ln x d (ln x) = d x x |
Тригонометрические функции. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x |
Тригонометрические функции. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x |
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2 |
Обратные тригонометрические фунции. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2 |
Проиллюстрируем описанное выше примером. Найдем неопределенный интеграл степенной функции f (x) = x p .
Согласно таблице дифференциалов d (x p) = p · x p - 1 · d x . По свойствам неопределенного интеграла имеем ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Следовательно, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0 .Второй вариант записи выглядит следующим образом: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1 , p ≠ - 1 .
Примем равным - 1 , найдем множество первообразных степенной функции f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .
Теперь нам понадобится таблица дифференциалов для натурального логарифма d (ln x) = d x x , x > 0 , следовательно ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x . Поэтому ∫ d x x = ln x , x > 0 .
Таблица первообразных (неопределенных интегралов)
В левом столбце таблицы размещены формулы, которые носят название основных первообразных. В правом столбце формулы не являются основными, но могут использоваться при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.
Непосредственное интегрирование
Для выполнения непосредственного интегрирования мы будем использовать таблицы первообразных, правила интегрирования ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C , а также свойства неопределенных интегралов ∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x
Таблицу основных интегралов и свойства интегралов можно использовать только после легкого преобразования подынтегрального выражения.
Пример 1
Найдем интеграл ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x
Решение
Выносим из-под знака интеграла коэффициент 3:
∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x
По формулам тригонометрии преобразуем подынтегральную функцию:
3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x
Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x
Используем данные из таблицы первообразных: 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x = 3 (1 · x + C 1 - cos x + C 2) = = п у с т ь 3 С 1 + С 2 = С = 3 x - 3 cos x + C
Ответ: ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .
Пример 2
Необходимо найти множество первообразных функции f (x) = 2 3 4 x - 7 .
Решение
Используем таблицу первообразных для показательной функции: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Это значит, что ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .
Используем правило интегрирования ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .
Получаем ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .
Ответ: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C
Используя таблицу первообразных, свойства и правило интегрирования, мы можем найти массу неопределенных интегралов. Это возможно в тех случаях, когда можно преобразовать подынтегральную функцию.
Для нахождения интеграла от функции логарифма, функции тангенса и котангенса и ряда других применяются специальные методы, которые мы рассмотрим в разделе «Основные методы интегрирования».
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter