Что понимают под обобщенной действующей силой процесса. Обобщенные координаты, обобщенные силы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек, на которые действуют силы Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определятся обобщенными координатами (104). Сообщим системе такое независимое возможное перемещение, при котором координата получает приращение а остальные координаты не изменяются. Тогда каждый из радиусов-векторов точек системы получит элементарное приращение . Поскольку, согласно равенству (106), , а при рассматриваемом перемещении изменяется только координата (остальные сохраняют постоянные значения), то вычисляется как частный дифференциал и, следовательно,

Используя это равенство и формулу (42) из § 87, вычислим сумму элементарных работ всех действующих сил на рассматриваемом перемещении, которую обозначим Получим

Вынося общий множитель за скобки, найдем окончательно

где обозначено

По аналогии с равенством определяющим элементарную работу силы F, величину называют обобщенной силой, соответствующей координате

Сообщая системе другое независимое возможное перемещение, при котором изменяется только координата , получим для элементарной работы всех действующих сил на этом перемещении выражение

Величина представляет собой обобщенную силу, соответствующую координате , и т. д.

Очевидно, что если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором одновременно изменяются все ее обобщенные координаты, то сумма элементарных работ приложенных сил на этом перемещении определится равенством

Формула (112) дает выражение полной элементарной работы всех действующих на систему сил в обобщенных координатах. Из этого равенства видно, что обобщенные силы это величины, равные коэффициентам при приращениях обобщенных координат в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил.

Если все наложенные на систему связи являются идеальными, то работу при возможных перемещениях совершают только активные силы и величины будут представлять собой обобщенные активные силы системы.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты. Так как произведение а следовательно, и имеет размерность работы, то

т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты. Отсюда видно, что если q - линейная величина, то Q имеет размерность обычной силы (в СИ измеряется в ньютонах), если q - угол (величина безмерная), то Q будет измеряться в и имеет размерность момента; если q - объем (например, положение поршня в цилиндре можно определять объемом запоршневого пространства), то Q будет измеряться в и имеет размерность давления, и т. д.

Как видим, по аналогии с обобщенной скоростью, понятием об обобщенной силе охватываются все величины, встречавшиеся ранее как меры механического взаимодействия материальных тел (сила, момент силы, давление).

Вычисление обобщенных сил будем производить по формулам вида (108), (110), что сводится к вычислению возможной элементарной работы (см. § 140). Сначала следует установить, каково число степеней свободы системы, выбрать обобщенные координаты и изобразить на чертеже все приложенные к системе активные силы и силы трения (если они совершают работу). Затем для определения надо сообщить системе такое возможное перемещение, при котором изменяется только координата получая положительное приращение вычислить на этом перемещении сумму элементарных работ всех действующих сил по формулам (101) и представить полученное выражение в виде (108). Тогда коэффициент при и дает искомую величину . Аналогично вычисляются

Пример 1. Подсчитаем обобщенную силу для системы, изображенной на рис. 366, где груз А весом перечещрется по гладкой наклонной плсскссти, а груз В весом - по шероховатой горизолтальной плоскости, коэффициент трения о которую равен

Грузы связаны нитью, перекинутой через блок О. Массой нити и блока пренебрегаем. Система имеет одну степень свободы положение определяется координатой (положительное направление отсчета показано стрелкой). Для определения сообщаем системе возможное перемещение при котором и вычисляем на этом перемещении элементарные работы сил остальные силы работы не совершают. Так как то

Следовательно,

Пример 2. Пренебрегая трением, найдем обобщенные силы для системы, изображенной на рис. 367. Однородный стержень А В имеет длину l и вес Р и может вращаться вокруг оси А в вертикальной плоскости. Нанизанный на него шарик М имеет вес . Длина пружины AM равна в ненапряженном состоянии а жесткость - с.

Система имеет две степени свободы (независимыми являются перемещение шарика вдоль стержня и поворот стержня вокруг оси А). В качестве обобщенных координат выберем угол и расстояние шарика от конца ненапряженной пружины положительные направления отсчета координат показаны стрелками.

Сообщаем сначала системе возможное перемещение, при котором угол получает приращение . На этом перемещении работу совершают» силы . По второй из формул (101) находим (знак минус здесь потому, что направление момента противоположно направлению )

Следовательно,

Теперь сообщаем системе возможное перемещение, при котором изменяется только координата получая приращение , а угол . На этом перемещении работу совершают сила тяжести и сила упругости, модуль которой Тогда

Лекция 24

12. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ, ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ

Для введения понятия обобщенных координат рассмотрим плоский двойной математический маятник, состоящий из двух невесомых стержней длиной l 1 и l 2 с точечными массами m 1 и m 2 на концах (рис. 12.1). Система обладает двумя степенями свободы.

Действительно стержень ОМ 1 может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О , перпендикулярной плоскости движения хОу , а стержень M 1 M 2 – вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку M 1 , в той же плоскости. Поэтому уравнения связей имеют вид: z 1 = 0,z 2 = 0,

Поэтому, так как n = 2, а число уравнений связей k = 4, то S = 3n – k = 2, т.е. лишь две из шести декартовых координат являются независимыми и должны быть заданы. Остальные же координаты можно выразить из уравнений связей через независимые координаты.

На практике координаты х 1 , у 1 z 1 , х 2 , у 2 , z 2 выражают через какие-либо независимые переменные другой природы, в нашем случае ими являются углы и отклонения стержней от вертикали:

х 1 = l 1 × cos j 1 , y 1 = l 1 × sin j 1 , z 1 = 0;

x 2 = l 1 × cos j 1 + l 2 × cos j 2 , y 2 = l 1 × sin j 1 + l 2 × sin j 2 , z 2 = 0. (12.1)

Здесь углы и играют роль независимых параметров, однозначно определяющих положение рассматриваемой механической системы.

Пусть теперь имеется система n материальных точек, на которую наложены k голономных связей, заданных уравнениями (10.2). Поскольку число степеней свободы равно S , то введем независимые переменные q 1 , q 2 , ..., q s . Тогда для рассматриваемой системы соотношения (12.1) примут вид:

x n = x n (q 1 , q 2 , ... , q s , t );

у n = у n (q 1 , q 2 , ..., q s , t ); (n = 1, 2,…, n ),

z n = z n (q 1 , q 2 , ..., q s , t );

(q 1 , q 2 , ..., q s , t ); (n = 1, 2,…, n ). (12.2)

Отметим, что независимые координаты q m (m = 1, 2, …, s ) – это не обязательно набор S переменных из числа декартовых координат x n , у n , z n . Ими могут быть переменные другой природы, так в приведенном выше примере вместо декартовых координат введены угловые координаты.

S независимых параметров q 1 , q 2 , ..., q s однозначно определяющих положение точек материальной системы, совместимое со связями, называются обобщенными координатами .

Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями ( = dq m /dt ).

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты: если q m – линейная величина, то – линейная скорость; если q m – угол, то – угловая скорость; если q m – площадь, то – секторная скорость. Следовательно, понятие обобщенной скорости охватывает все известные нам понятия о скоростях.

Для введения понятия обобщенных сил рассмотрим голономную систему, состоящую из n материальных точек, на которые действуют соответственно силы , , ..., . Пусть система имеет S степеней свободы, и ее положение определяется обобщенными координатами q 1 , q 2 , ...,q s . Сообщим системе в фиксированный момент времени такое виртуальное перемещение, при котором обобщенная координата q m приобретает приращение d q m > 0, а остальные обобщенные координаты не изменяются. Тогда каждый радиус-вектор получит виртуальное перемещение ( ) m , которое вычисляется как частный дифференциал:

(d ) m = . (12.3)

Согласно (10.9) виртуальная работа всех активных сил при вариации d q m обобщенной координаты q m запишется в виде:

где (12.4)

Величину называют обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате q m . Если всем S обобщенным координатам в данный момент времени сообщить положительные приращения (вариации) d q 1 , d q 2 , ..., d q s , то полная виртуальная работа всех активных сил в обобщенных координатах

Из выражения (12.5) следует, что обобщенные силы представляют собой коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении для виртуальной работы. Проецируя (11.4) на декартовые оси, получим

. (12.6)

Если все действующие силы потенциальные, то их проекции F n x , F n y , F n z на декартовые оси могут быть выражены через потенциальную энергию П системы согласно формулам:

(22.7)

Подставив (12.7) в (12.6), получим:

Для механической системы, находящейся в потенциальном силовом поле, обобщенная сила определяется взятой с обратным знаком частной производной от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате:

. (12.8)

Отметим, что размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность обобщенной координаты.

Пример 12.1 . Определить обобщенную силу математического маятника весом , если длина нити равна l . За обобщенную координату взять угол отклонения j маятника от вертикали (рис. 12.2).

Рис. 12.2 Рис. 12.3

Решение. Математический маятник является системой с одной степенью свободы (S = 1 ), так как для определения его положения достаточно задать один параметр.

Рассмотрим маятник в произвольном положении. За обобщенную координату q примем угол j . Активной силой, действующей на маятник, является сила тяжести .

Способ 1. Поскольку сила потенциальна, то для определения обобщенной силы Q воспользуемся формулой (12.8). Для вычисления потенциальной энергии П маятника направим ось х по вертикали вниз, взяв за начало отсчета потенциальной энергии точку О подвеса маятника, т.е. П(х= 0) = 0. Потенциальная энергия маятника равна работе силы тяжести на перемещении материальной точки из данного положения М в нулевое, т.е. П = –Р × х 1 = –Р × l × cos j . Согласно (12.8)

Способ 2. Наиболее распространен-ным методом вычисления обобщенной силы является её определение по формуле (11.4) Q m = d A m / d q m . Сообщим маятнику в данный момент времени виртуальное перемещение d j > 0, т.е. в сторону возрастания угла j (рис. 12.3), и вычислим элементарную работу силы тяжести на этом перемещении:

d A= – P × h × d j ,

где h = l × sin j , – плечо силы относительно центра вращения точки O . Следовательно,

ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ

Величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механич. системы её положение определяется обобщёнными координатами. Число О. с. равно числу s степеней свободы системы; при этом каждой обобщённой координате qi соответствует своя О. с. Qi. Значение О. с. Q1, соответствующей координате q1, можно найти, вычислив элем. работу dA1 всех сил на возможном перемещении системы, при к-ром изменяется только координата q1:, получая приращение dq1. Тогда dA1=Q1dq1т. е. коэффициент при dqi в выражении dA1 и будет О. с. Q1. Аналогично вычисляются Q2, Q3, . . ., Qs.

Размерность О. с. зависит от размерности обобщённой координаты. Если qi имеет длины, то Qi - размерность обычной силы; если qi - угол, то Qi имеет размерность момента силы, и т. д. При изучении движения механич. системы О. с, входят вместо обычных сил в Лагранжа уравнения механики, а при равновесии все О. с. равны нулю.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1983 .

Смотреть что такое "ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ" в других словарях:

Величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механической системы её положение определяется обобщёнными координатами (См. Обобщённые координаты). Число О. с. равно числу s степеней свободы системы; при… …

В механике величины Qi, произведение к рых на элементарные при рашения dqi обобщённых координат qi механич. системы дают выражение элементарной работы бА где образован из ворса волокнистых материалов (хлопок, вискоза). Для наклейки О. обычно… … Большой энциклопедический политехнический словарь

- (США) (United States of America, USA). I. Общие сведения США государство в Северной Америке. Площадь 9,4 млн. км2. Население 216 млн. чел. (1976, оценка). Столица г. Вашингтон. В административном отношении территория США … Большая советская энциклопедия

- (ВВС СССР) Флаг советских Военно воздушных сил Годы существования … Википедия

- الإمارات العربية المتحدة‎ аль Имарат аль Арабия аль Муттахида … Википедия

Поле сил заданное в области Q конфигурационного пространства как градиент скалярной ф ции: где (обобщённые) координаты, U(q) потенциальная энергия. Работа П. с. по любому замкнутому контуру в Q, стягиваемому в точку, равна нулю. Признаком… … Физическая энциклопедия

- (ВВС) вид вооружённых сил государства, предназначенный для самостоятельных действий при решении оперативно стратегических задач и для совместных действий с другими видами вооружённых сил. По своим боевым возможностям современные ВВС… … Большая советская энциклопедия

Силы, мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения. Если сила F численно и по направлению постоянна, а перемещение M0M1 прямолинейно (рис. 1), то P. A = F․s․cosα, где s = M0M1 … Большая советская энциклопедия

Силы, мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения. Если сила F численно и по направлению постоянна, а перемещение М0М1 прямолинейно (рис. 1), то P. A = F s cosa, где s=M0M1, a угол… … Физическая энциклопедия

Механики. 1) Лагранжа уравнения 1 го рода дифференциальные ур ния движения механич. системы, к рые даны в проекциях на прямоугольные координатные оси и содержат т. н. множители Лагранжа. Получены Ж. Лагранжем в 1788. Для голономной системы,… … Физическая энциклопедия

1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле (227), ее определяющей, т.е.

2. Обобщенные силы можно вычислять как коэффициенты при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении для элементарной работы (226"), т. е.

3. Наиболее целесообразен способ вычисления обобщенных сил, который получается из (226""), если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не изменяются. Так, если , а остальные , то из (179") имеем

Индекс указывает, что сумма элементарных работ вычисляется на возможном перемещении, при котором изменяется (варьируется) только координата . Если варьируемой координатой является , то

. (227")

Условия равновесия системы сил в терминах обобщенных сил

Условия равновесия системы выводятся из принципа возможных перемещений. Они применимы к системам, для которых этот принцип справедлив: для равновесия механической системы, подчиненной голономным, стационарным, идеальным и неосвобождающим связям, в момент, когда скорости всех точек системы равны нулю, необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы были равны нулю

. (228")

Общее уравнение динамики

Общее уравнение динамики для системы с любыми связями (объединенный принцип Даламбера-Лагранжа или общее уравнение механики) :

, (229)

где – активная сила, приложенная к -ой точке системы; – сила реакции связей; – сила инерции точки; – возможное перемещение.

Оно в случае равновесия системы при обращении в нуль всех сил инерции точек системы переходит в принцип возможных перемещений. Обычно его применяют для систем с идеальными связями, для которых выполняется условие

В этом случае (229) принимает одну из форм:

. (230)

Таким образом, согласно общему уравнению динамики, в любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равна нулю на любом возможном перемещении системы, допускаемом связями .

Общему уравнению динамики можно придать другие, эквивалентные формы. Раскрывая скалярное произведение векторов, его можно выразить в виде

где – координаты -ой точки системы. Учитывая, что проекции сил инерции на оси координат через проекции ускорений на эти оси выражаются соотношениями

общему уравнению динамики можно придать форму

В этом виде его называют общим уравнением динамики в аналитической форме .

При использовании общего уравнения динамики необходимо уметь вычислять элементарную работу сил инерции системы на возможных перемещениях. Для этого применяются соответствующие формулы для элементарной работы, полученные для обычных сил. Рассмотрим их применение для сил инерции твердого тела в частных случаях его движения.

При поступательном движении. В этом случае тело имеет три степени свободы и вследствие наложенных связей может совершать только поступательное движение. Возможные перемещения тела, которые допускают связи, тоже являются поступательными.

Силы инерции при поступательном движении приводятся к равнодействующей . Для суммы элементарных работ сил инерции на поступательном возможном перемещении тела получим

где – возможное перемещение центра масс и любой точки тела, так как поступательное возможное перемещение у всех точек тела одинаково: одинаковы и ускорения, т. е. .

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Тело в этом случае имеет одну степень свободы. Оно может вращаться вокруг неподвижной оси . Возможное перемещение, которое допускается наложенными связями, является тоже поворотом тела на элементарный угол вокруг неподвижной оси.

Силы инерции, приведенные к точке на оси вращения, сводятся к главному вектору и главному моменту . Главный вектор сил инерции приложен к неподвижной точке, и его элементарная работа на возможном перемещении равна нулю. У главного момента сил инерции не равную нулю элементарную работу совершит только его проекция на ось вращения . Таким образом, для суммы работ сил инерции на рассматриваемом возможном перемещении имеем

если угол сообщить в направлении дуговой стрелки углового ускорения .

При плоском движении. Связи, наложенные на твердое тело, допускают в этом случае только плоское возможное перемещение. В общем случае оно состоит из поступательного возможного перемещения вместе с полюсом, за который выберем центр масс, и поворота на элементарный угол вокруг оси , проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости, параллельно которой может совершать тело плоское движение.

Запишем сумму элементарных работ сил, действующих на точки системы, на возможном перемещении системы:

Пусть голономная система имеет степеней свободы и, следовательно, ее положение в пространстве определяетсяобобщенными координатами
.

Подставляя (225) в (226) и изменяя порядок суммирования по индексам и, получим

. (226")

где скалярная величина

называется обобщенной силой, отнесенной к обобщенной координате . Используя известное выражение для скалярного произведения двух векторов, сообщенную силу можно также представить в виде

–проекции силы на оси координат;
– координаты точки приложения силы.

Размерность обобщенной силы в соответствии с (226") следующим образом зависит от размерности , совпадающей с размерностью:

, (228)

т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы силы (энергии) или момента силы, деленной на размерность обобщенной координаты, к которой отнесена обобщенная сила. Из этого следует, что обобщенная сила может иметь размерность силы или момента силы.

Вычисление обобщенной силы

1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле (227), ее определяющей, т.е.

3. Наиболее целесообразен способ вычисления обобщенных сил, который получается из (226""), если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не изменяются. Так, если
, а остальные
, то из (179") имеем

Индекс указывает, что сумма элементарных работ вычисляется на возможном перемещении, при котором изменяется (варьируется) только координата. Если варьируемой координатой является, то

. (227")

Условия равновесия системы сил в терминах обобщенных сил

. (228")

3.6.7. Общее уравнение динамики

Общее уравнение динамики для системы с любыми связями (объединенный принцип Даламбера-Лагранжа или общее уравнение механики) :

, (229)

где – активная сила, приложенная к-ой точке системы;– сила реакции связей;
– сила инерции точки;– возможное перемещение.

В этом случае (229) принимает одну из форм:

. (230)

где
– координаты-ой точки системы. Учитывая, что проекции сил инерции на оси координат через проекции ускорений на эти оси выражаются соотношениями

общему уравнению динамики можно придать форму

В этом виде его называют общим уравнением динамики в аналитической форме .

Силы инерции при поступательном движении приводятся к равнодействующей
. Для суммы элементарных работ сил инерции на поступательном возможном перемещении тела получим

где
– возможное перемещение центра масс и любой точки тела, так как поступательное возможное перемещение у всех точек тела одинаково: одинаковы и ускорения, т. е.
.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Тело в этом случае имеет одну степень свободы. Оно может вращаться вокруг неподвижной оси
. Возможное перемещение, которое допускается наложенными связями, является тоже поворотом тела на элементарный угол
вокруг неподвижной оси.

Силы инерции, приведенные к точке на оси вращения, сводятся к главному векторуи главному моменту
. Главный вектор сил инерции приложен к неподвижной точке, и его элементарная работа на возможном перемещении равна нулю. У главного момента сил инерции не равную нулю элементарную работу совершит только его проекция на ось вращения
. Таким образом, для суммы работ сил инерции на рассматриваемом возможном перемещении имеем

если угол
сообщить в направлении дуговой стрелки углового ускорения.

При плоском движении. Связи, наложенные на твердое тело, допускают в этом случае только плоское возможное перемещение. В общем случае оно состоит из поступательного возможного перемещения вместе с полюсом, за который выберем центр масс, и поворота на элементарный угол
вокруг оси
, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости, параллельно которой может совершать тело плоское движение.

Так как силы инерции при плоском движении твердого тела можно привести к главному вектору и главному моменту
(если за центр приведения выбрать центр масс), то сумма элементарных работ сил инерции на плоском возможном перемещении сведется к элементарной работе отавною вектора сил инерции
на возможном перемещении центра масс и элементарной работе главного момента сил инерции на элементарном поворотном перемещении вокруг оси
, проходящей через центр масс. При этом не равную нулю элементарную работу может совершить только проекция главного момента сил инерции на ось
, т.е.
. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем